حل تمرین صفحه 76 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 76 ریاضی دهم - مسئله ۱ ### **۱) $\mathbf{x^2 - 11x = -10}$** **گام ۱: استانداردسازی و تجزیه** $$x^2 - 11x + 10 = 0$$ دنبال دو عدد می‌گردیم که حاصل‌ضربشان $10$ و حاصل‌جمعشان $-11$ باشد. این دو عدد $-1$ و $-10$ هستند. $$(x - 1)(x - 10) = 0$$ **گام ۲: ریشه‌ها** * $x - 1 = 0 \Rightarrow \mathbf{x_1 = 1}$ * $x - 10 = 0 \Rightarrow \mathbf{x_2 = 10}$ **جواب‌ها: $\mathbf{x = 1}$ و $\mathbf{x = 10}$** --- ### **۲) $\mathbf{5t^2 = 20}$** **گام ۱: ساده‌سازی و تجزیه** $$5t^2 - 20 = 0$$ فاکتورگیری از $5$: $$5(t^2 - 4) = 0$$ تجزیه $t^2 - 4$ با **اتحاد مزدوج**: $$5(t - 2)(t + 2) = 0$$ **گام ۲: ریشه‌ها** * $t - 2 = 0 \Rightarrow \mathbf{t_1 = 2}$ * $t + 2 = 0 \Rightarrow \mathbf{t_2 = -2}$ **جواب‌ها: $\mathbf{t = 2}$ و $\mathbf{t = -2}$** --- ### **۳) $\mathbf{5a^2 - 7a = 2a(a-3)}$** **گام ۱: ساده‌سازی و استانداردسازی** $$5a^2 - 7a = 2a^2 - 6a$$ $$5a^2 - 2a^2 - 7a + 6a = 0$$ $$3a^2 - a = 0$$ **گام ۲: تجزیه (فاکتورگیری از $\mathbf{a}$)** $$a(3a - 1) = 0$$ **گام ۳: ریشه‌ها** * $a = 0 \Rightarrow \mathbf{a_1 = 0}$ * $3a - 1 = 0 \Rightarrow 3a = 1 \Rightarrow \mathbf{a_2 = \frac{1}{3}}$ **جواب‌ها: $\mathbf{a = 0}$ و $\mathbf{a = \frac{1}{3}}$** --- ### **۴) $\mathbf{4k^2 - 12k + 8 = 0}$** **گام ۱: ساده‌سازی و تجزیه** ابتدا بر ضریب مشترک $4$ تقسیم می‌کنیم: $$k^2 - 3k + 2 = 0$$ دنبال دو عدد می‌گردیم که حاصل‌ضربشان $2$ و حاصل‌جمعشان $-3$ باشد. این دو عدد $-1$ و $-2$ هستند. $$(k - 1)(k - 2) = 0$$ **گام ۲: ریشه‌ها** * $k - 1 = 0 \Rightarrow \mathbf{k_1 = 1}$ * $k - 2 = 0 \Rightarrow \mathbf{k_2 = 2}$ **جواب‌ها: $\mathbf{k = 1}$ و $\mathbf{k = 2}$**

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 76 ریاضی دهم - مسئله ۲ در این تمرین، از روش **ریشه‌گیری** (تبدیل به فرم $X^2 = A$) استفاده می‌کنیم. ### **۱) $\mathbf{n^2 - 25 = 0}$** **گام ۱: آماده‌سازی و ریشه‌گیری** $$n^2 = 25$$ $$n = \pm \sqrt{25}$$ **گام ۲: ریشه‌ها** $$\mathbf{n = 5} \quad \text{و} \quad \mathbf{n = -5}$$ --- ### **۲) $\mathbf{x^2 + 12 = 0}$** **گام ۱: آماده‌سازی و ریشه‌گیری** $$x^2 = -12$$ **گام ۲: ریشه‌ها** چون مربع یک عدد حقیقی نمی‌تواند منفی باشد، این معادله **جواب حقیقی ندارد**. $$\mathbf{\text{جواب حقیقی ندارد.}}$$ --- ### **۳) $\mathbf{(t - 2)^2 = 9}$** **گام ۱: ریشه‌گیری** $$t - 2 = \pm \sqrt{9}$$ $$t - 2 = \pm 3$$ **گام ۲: ریشه‌ها** 1. **حالت مثبت:** $t - 2 = 3 \Rightarrow \mathbf{t_1 = 5}$ 2. **حالت منفی:** $t - 2 = -3 \Rightarrow \mathbf{t_2 = -1}$ **جواب‌ها: $\mathbf{t = 5}$ و $\mathbf{t = -1}$** --- ### **۴) $\mathbf{3k^2 - 3k = 2k - 4k}$** **گام ۱: ساده‌سازی و استانداردسازی** $$3k^2 - 3k = -2k$$ $$3k^2 - 3k + 2k = 0$$ $$3k^2 - k = 0$$ **گام ۲: تجزیه (فاکتورگیری) و ریشه‌گیری** $$k(3k - 1) = 0$$ $$\text{جواب‌ها:} \quad k = 0 \quad \text{یا} \quad 3k - 1 = 0 \Rightarrow \mathbf{k = \frac{1}{3}}$$ **جواب‌ها: $\mathbf{k = 0}$ و $\mathbf{k = \frac{1}{3}}$** **نکته:** اگرچه این روش تجزیه است، اما با ساده شدن به دو عامل خطی، نیازی به ریشه‌گیری مستقیم از عدد ثابت نیست.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 76 ریاضی دهم - مسئله ۳ ما از روش **مربع کامل کردن** برای حل معادلات استفاده می‌کنیم. در این روش، ضریب جمله‌ی درجه دوم ($a$) باید $1$ باشد. ### **۱) $\mathbf{x^2 - 6x = 7}$** **گام ۱: مربع کامل کردن** نصف ضریب $x$ (که $-6$ است) برابر $-3$ است. مربع آن $(-3)^2 = 9$. $$x^2 - 6x + 9 = 7 + 9$$ **گام ۲: تبدیل به اتحاد و ریشه‌گیری** $$(x - 3)^2 = 16$$ $$x - 3 = \pm \sqrt{16} \Rightarrow x - 3 = \pm 4$$ **گام ۳: ریشه‌ها** 1. $x - 3 = 4 \Rightarrow \mathbf{x_1 = 7}$ 2. $x - 3 = -4 \Rightarrow \mathbf{x_2 = -1}$ **جواب‌ها: $\mathbf{x = 7}$ و $\mathbf{x = -1}$** --- ### **۲) $\mathbf{3s^2 - 3s + 3 = 0}$** **گام ۱: ساده‌سازی و آماده‌سازی** بر $3$ تقسیم می‌کنیم: $$s^2 - s + 1 = 0$$ $$s^2 - s = -1$$ **گام ۲: مربع کامل کردن** نصف ضریب $s$ (که $-1$ است) برابر $-\frac{1}{2}$ است. مربع آن $\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$. $$s^2 - s + \frac{1}{4} = -1 + \frac{1}{4}$$ **گام ۳: تبدیل به اتحاد و ریشه‌گیری** $$\left(s - \frac{1}{2}\right)^2 = -\frac{4}{4} + \frac{1}{4}$$ $$\left(s - \frac{1}{2}\right)^2 = -\frac{3}{4}$$ **گام ۴: ریشه‌ها** چون سمت راست منفی است، معادله **جواب حقیقی ندارد**. $$\mathbf{\text{جواب حقیقی ندارد.}}$$ --- ### **۳) $\mathbf{2r^2 + 4r + 4 = 0}$** **گام ۱: ساده‌سازی و آماده‌سازی** بر $2$ تقسیم می‌کنیم: $$r^2 + 2r + 2 = 0$$ $$r^2 + 2r = -2$$ **گام ۲: مربع کامل کردن** نصف ضریب $r$ (که $2$ است) برابر $1$ است. مربع آن $1^2 = 1$. $$r^2 + 2r + 1 = -2 + 1$$ **گام ۳: تبدیل به اتحاد و ریشه‌گیری** $$(r + 1)^2 = -1$$ **گام ۴: ریشه‌ها** چون سمت راست منفی است، معادله **جواب حقیقی ندارد**. $$\mathbf{\text{جواب حقیقی ندارد.}}$$ --- ### **۴) $\mathbf{2a^2 + 5a - 3 = 0}$** **گام ۱: ساده‌سازی و آماده‌سازی** بر $2$ تقسیم می‌کنیم: $$a^2 + \frac{5}{2}a - \frac{3}{2} = 0$$ $$a^2 + \frac{5}{2}a = \frac{3}{2}$$ **گام ۲: مربع کامل کردن** نصف ضریب $a$ (که $\frac{5}{2}$ است) برابر $\frac{5}{4}$ است. مربع آن $\left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16}$. $$a^2 + \frac{5}{2}a + \frac{25}{16} = \frac{3}{2} + \frac{25}{16}$$ **گام ۳: تبدیل به اتحاد و ساده‌سازی** $$\left(a + \frac{5}{4}\right)^2 = \frac{3 \times 8}{2 \times 8} + \frac{25}{16} = \frac{24}{16} + \frac{25}{16}$$ $$\left(a + \frac{5}{4}\right)^2 = \frac{49}{16}$$ **گام ۴: ریشه‌گیری** $$a + \frac{5}{4} = \pm \sqrt{\frac{49}{16}} \Rightarrow a + \frac{5}{4} = \pm \frac{7}{4}$$ **گام ۵: ریشه‌ها** 1. **حالت مثبت:** $a + \frac{5}{4} = \frac{7}{4} \Rightarrow a = \frac{7}{4} - \frac{5}{4} = \frac{2}{4} = \mathbf{\frac{1}{2}}$ 2. **حالت منفی:** $a + \frac{5}{4} = -\frac{7}{4} \Rightarrow a = -\frac{7}{4} - \frac{5}{4} = -\frac{12}{4} = \mathbf{-3}$ **جواب‌ها: $\mathbf{a = \frac{1}{2}}$ و $\mathbf{a = -3}$**

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 76 ریاضی دهم - مسئله ۴ ما از **فرمول کلی حل معادلات درجه دوم** استفاده می‌کنیم: $\mathbf{x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}}$ با $\mathbf{\Delta = b^2 - 4ac}$. ### **۱) $\mathbf{4x^2 - 12x + 3 = 0}$** * **ضرایب:** $a = 4, b = -12, c = 3$ * **دلتا:** $\Delta = (-12)^2 - 4(4)(3) = 144 - 48 = \mathbf{96}$ * **ریشه‌ها:** $x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{96}}{2(4)} = \frac{12 \pm 4\sqrt{6}}{8}$ * **ساده‌سازی:** با تقسیم صورت و مخرج بر $4$: $$\mathbf{x = \frac{3 \pm \sqrt{6}}{2}}$$ --- ### **۲) $\mathbf{r - r^2 = 3}$** **گام ۱: استانداردسازی** $$-r^2 + r - 3 = 0$$ * **ضرایب:** $a = -1, b = 1, c = -3$ * **دلتا:** $\Delta = (1)^2 - 4(-1)(-3) = 1 - 12 = \mathbf{-11}$ **گام ۲: نتیجه‌گیری** * چون $\Delta = -11 < 0$ است، معادله **جواب حقیقی ندارد**. --- ### **۳) $\mathbf{a^2 + 2\sqrt{3}a = 9}$** **گام ۱: استانداردسازی** $$a^2 + 2\sqrt{3}a - 9 = 0$$ * **ضرایب:** $a = 1, b = 2\sqrt{3}, c = -9$ * **دلتا:** $\Delta = (2\sqrt{3})^2 - 4(1)(-9) = (4 \times 3) + 36 = 12 + 36 = \mathbf{48}$ **گام ۲: ریشه‌ها** $$a = \frac{-(2\sqrt{3}) \pm \sqrt{48}}{2(1)} = \frac{-2\sqrt{3} \pm 4\sqrt{3}}{2}$$ 1. **حالت مثبت:** $a_1 = \frac{-2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \mathbf{\sqrt{3}}$ 2. **حالت منفی:** $a_2 = \frac{-2\sqrt{3} - 4\sqrt{3}}{2} = \frac{-6\sqrt{3}}{2} = \mathbf{-3\sqrt{3}}$ **جواب‌ها: $\mathbf{a = \sqrt{3}}$ و $\mathbf{a = -3\sqrt{3}}$** --- ### **۴) $\mathbf{\frac{t^2}{2} - \frac{t}{3} = \frac{3}{2}}$** **گام ۱: حذف مخرج‌ها و استانداردسازی** در کوچک‌ترین مضرب مشترک مخرج‌ها (یعنی $6$) ضرب می‌کنیم: $$6 \left( \frac{t^2}{2} - \frac{t}{3} = \frac{3}{2} \right) \Rightarrow 3t^2 - 2t = 9 \Rightarrow 3t^2 - 2t - 9 = 0$$ * **ضرایب:** $a = 3, b = -2, c = -9$ * **دلتا:** $\Delta = (-2)^2 - 4(3)(-9) = 4 - (-108) = 4 + 108 = \mathbf{112}$ **گام ۲: ریشه‌ها** $$t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{112}}{2(3)} = \frac{2 \pm \sqrt{16 \times 7}}{6} = \frac{2 \pm 4\sqrt{7}}{6}$$ * **ساده‌سازی:** با تقسیم صورت و مخرج بر $2$: $$\mathbf{t = \frac{1 \pm 2\sqrt{7}}{3}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 77 ریاضی دهم - مسئله ۵ ### **۱) $\mathbf{2x^2 = 50}$ (ریشه‌گیری)** $$x^2 = \frac{50}{2} \Rightarrow x^2 = 25$$ $$x = \pm \sqrt{25}$$ $$\mathbf{x = 5} \quad \text{و} \quad \mathbf{x = -5}$$ --- ### **۲) $\mathbf{9 - 6z + z^2 = 0}$ (تجزیه - اتحاد مربع کامل)** $$z^2 - 6z + 9 = 0$$ $$(z - 3)^2 = 0$$ $$\mathbf{z = 3 \text{ (ریشه‌ی مضاعف)}}$$ --- ### **۳) $\mathbf{3a^2 + 3a = 1}$ (فرمول کلی)** $$3a^2 + 3a - 1 = 0$$ * **ضرایب:** $a = 3, b = 3, c = -1$ * **دلتا:** $\Delta = 3^2 - 4(3)(-1) = 9 + 12 = \mathbf{21}$ * **ریشه‌ها:** $$a = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2(3)} \Rightarrow \mathbf{a = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{6}}$$ --- ### **۴) $\mathbf{b^2 + \sqrt{b} - 4 = 0}$ (معادله رادیکالی - غیر درجه دوم)** **توجه:** این یک معادله‌ی درجه دوم نیست، بلکه یک **معادله‌ی رادیکالی** است. برای حل معادلات رادیکالی باید رادیکال را تنها کرد و سپس طرفین را به توان رساند. $$\sqrt{b} = 4 - b^2$$ **شرط وجود جواب:** 1. **زیر رادیکال نامنفی:** $b \ge 0$ 2. **طرف راست نامنفی:** $4 - b^2 \ge 0 \Rightarrow b^2 \le 4 \Rightarrow -2 \le b \le 2$ * **اشتراک شرط‌ها:** $\mathbf{0 \le b \le 2}$ **حل (با فرض قبولی در شرط):** طرفین را به توان دو می‌رسانیم: $$(\sqrt{b})^2 = (4 - b^2)^2 \Rightarrow b = 16 - 8b^2 + b^4$$ $$b^4 - 8b^2 - b + 16 = 0$$ حل این معادله‌ی درجه چهار پیچیده است. اما با توجه به مباحث کتاب دهم، ممکن است منظور این بوده که $\mathbf{b}$ را به عنوان $\mathbf{(\sqrt{b})^2}$ در نظر بگیریم و از تغییر متغیر استفاده کنیم، یا ممکن است سوال اشتباه تایپی داشته باشد. **اگر فرض کنیم منظور $b - 2\sqrt{b} - 4 = 0$ بوده باشد (معادله درجه دو):** $\sqrt{b} = t \Rightarrow t^2 - 2t - 4 = 0$. $\Delta = 20$. $t = 1 \pm \sqrt{5}$. چون $\sqrt{b} = t \ge 0$， $t = 1 + \sqrt{5}$. $b = (1 + \sqrt{5})^2 = 6 + 2\sqrt{5}$. **با فرض صحت متن سوال:** چون حل معادله $b^4 - 8b^2 - b + 16 = 0$ فراتر از سطح کتاب درسی است، احتمالاً **هدف سوال فقط تشخیص نوع معادله و محدودیت‌های آن** بوده است. اگر حل مورد نظر باشد، به دلیل پیچیدگی، معمولاً با حدس زدن جواب صحیح انجام می‌شود. $$\mathbf{\text{معادله غیر درجه دوم است و حل آن بسیار پیچیده است.}}$$ $$\mathbf{\text{محدوده جواب: } 0 \le b \le 2}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 77 ریاضی دهم - مسئله ۶ ### **گام ۱: مدل‌سازی مسئله** * **عدد فرد اول:** هر عدد فردی را می‌توان به صورت $\mathbf{x}$ در نظر گرفت. * **عدد فرد متوالی بعدی:** فاصله‌ی دو عدد فرد متوالی $2$ واحد است، پس عدد بعدی $\mathbf{x + 2}$ است. * **معادله:** مجموع مربعات آن‌ها $290$ است: $$\mathbf{x^2 + (x + 2)^2 = 290}$$ ### **گام ۲: استانداردسازی معادله** عبارت را بسط داده و ساده می‌کنیم: $$x^2 + (x^2 + 4x + 4) = 290$$ $$2x^2 + 4x + 4 - 290 = 0$$ $$2x^2 + 4x - 286 = 0$$ بر $2$ تقسیم می‌کنیم: $$\mathbf{x^2 + 2x - 143 = 0}$$ ### **گام ۳: حل معادله با تجزیه یا فرمول کلی** **روش تجزیه:** دنبال دو عدد می‌گردیم که حاصل‌ضربشان $-143$ و حاصل‌جمعشان $2$ باشد. * $143 = 11 \times 13$. * اعداد $-11$ و $13$ مناسب هستند: $(-11) \times 13 = -143$ و $(-11) + 13 = 2$. $$(x - 11)(x + 13) = 0$$ **گام ۴: ریشه‌ها و اعداد فرد** معادله دو جواب دارد: 1. $$x_1 = 11$$ 2. $$x_2 = -13$$ **گام ۵: پیدا کردن جفت اعداد** 1. **اگر $x = 11$:** اعداد فرد متوالی $x$ و $x+2$ هستند: $$\mathbf{11} \quad \text{و} \quad 11 + 2 = \mathbf{13}$$ * بررسی: $11^2 + 13^2 = 121 + 169 = 290$. (صحیح) 2. **اگر $x = -13$:** اعداد فرد متوالی $x$ و $x+2$ هستند: $$\mathbf{-13} \quad \text{و} \quad -13 + 2 = \mathbf{-11}$$ * بررسی: $(-13)^2 + (-11)^2 = 169 + 121 = 290$. (صحیح) **پاسخ نهایی:** دو جفت عدد وجود دارد: **$athbf{11}$ و $\mathbf{13}$** یا **$athbf{-13}$ و $\mathbf{-11}$**.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 77 ریاضی دهم - مسئله ۷ ### **گام ۱: مدل‌سازی مسئله** * **عرض:** $\mathbf{a}$ * **طول:** $4a + 3$ (سه واحد بیشتر از چهار برابر عرض) * **مساحت:** $25 \text{ cm}^2$ * **فرمول مساحت:** $\text{طول} \times \text{عرض} = \text{مساحت}$ $$\mathbf{a(4a + 3) = 25}$$ ### **گام ۲: استانداردسازی و حل معادله** $$4a^2 + 3a = 25$$ $$\mathbf{4a^2 + 3a - 25 = 0}$$ **گام ۳: حل با فرمول کلی** * **ضرایب:** $a=4, b=3, c=-25$ * **دلتا:** $\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(4)(-25) = 9 + 400 = \mathbf{409}$ * **ریشه‌ها:** $a = \frac{-3 \pm \sqrt{409}}{2(4)} = \frac{-3 \pm \sqrt{409}}{8}$ **گام ۴: یافتن ابعاد (پذیرش جواب)** چون ابعاد مستطیل باید **مثبت** باشند، فقط ریشه‌ی مثبت قابل قبول است ($\sqrt{409} \approx 20.22$). $$a = \frac{-3 + \sqrt{409}}{8} \approx \frac{-3 + 20.22}{8} = \frac{17.22}{8} \approx 2.1525$$ **۱. عرض ($a$):** $$\mathbf{a \approx 2.15 \text{ cm}}$$ **۲. طول ($4a + 3$):** $$\text{طول} = 4(2.1525) + 3 = 8.61 + 3 = \mathbf{11.61 \text{ cm}}$$ * **بررسی:** $2.15 \times 11.61 \approx 24.96$ (نزدیک به $25$) **پاسخ نهایی:** ابعاد مستطیل تقریباً **$\mathbf{2.15 \text{ سانتی‌متر}}$ (عرض) و $\mathbf{11.61 \text{ سانتی‌متر}}$ (طول) هستند.**

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 77 ریاضی دهم - مسئله ۸ ### **گام ۱: مدل‌سازی سنین فعلی** فرض می‌کنیم سن برادر کوچک‌تر، $\mathbf{x}$ باشد. * **سن برادر کوچک‌تر (فعلی):** $\mathbf{x}$ * **سن برادر بزرگ‌تر (فعلی):** $\mathbf{x + 4}$ (اختلاف سن $4$ سال) **توجه:** سن نمی‌تواند منفی باشد، پس $\mathbf{x > 0}$. ### **گام ۲: مدل‌سازی سنین در چهار سال دیگر** سن هر دو برادر $4$ سال افزایش می‌یابد: * **سن کوچک‌تر (آینده):** $x + 4$ * **سن بزرگ‌تر (آینده):** $(x + 4) + 4 = x + 8$ ### **گام ۳: تشکیل معادله** حاصل‌ضرب سن آن‌ها در آینده $60$ خواهد بود: $$(x + 4)(x + 8) = 60$$ ### **گام ۴: استانداردسازی و حل معادله** $$(x^2 + 8x + 4x + 32) = 60$$ $$x^2 + 12x + 32 - 60 = 0$$ $$\mathbf{x^2 + 12x - 28 = 0}$$ **حل با فرمول کلی:** * **ضرایب:** $a = 1, b = 12, c = -28$ * **دلتا:** $\Delta = 12^2 - 4(1)(-28) = 144 + 112 = \mathbf{256}$ * **ریشه‌ها:** $x = \frac{-12 \pm \sqrt{256}}{2(1)} = \frac{-12 \pm 16}{2}$ 1. **ریشه‌ی اول:** $x_1 = \frac{-12 + 16}{2} = \frac{4}{2} = \mathbf{2}$ 2. **ریشه‌ی دوم:** $x_2 = \frac{-12 - 16}{2} = \frac{-28}{2} = \mathbf{-14}$ ### **گام ۵: پذیرش جواب‌ها و سن فعلی** * سن نمی‌تواند منفی باشد، پس $\mathbf{x = -14}$ **قابل قبول نیست**. * $\mathbf{x = 2}$ (سن برادر کوچک‌تر) قابل قبول است. **سنین فعلی:** * **سن برادر کوچک‌تر:** $x = \mathbf{2 \text{ سال}}$ * **سن برادر بزرگ‌تر:** $x + 4 = 2 + 4 = \mathbf{6 \text{ سال}}$ **بررسی (آینده):** سنین در $4$ سال: $6$ و $10$. حاصل‌ضرب: $6 \times 10 = 60$. (صحیح) **پاسخ نهایی:** سن برادر کوچک‌تر $\mathbf{2}$ سال و سن برادر بزرگ‌تر $\mathbf{6}$ سال است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 77 ریاضی دهم - مسئله ۹ ### **گام ۱: مدل‌سازی ابعاد قاب** قاب عکس دارای یک حاشیه با عرض ثابت $\mathbf{x}$ در هر چهار طرف است. * **عرض عکس:** $10 \text{ cm}$ * **طول عکس:** $15 \text{ cm}$ ابعاد قاب (طول و عرض قاب) عبارتند از: * **عرض قاب:** $\text{عرض عکس} + 2x = \mathbf{10 + 2x}$ * **طول قاب:** $\text{طول عکس} + 2x = \mathbf{15 + 2x}$ ### **گام ۲: تشکیل معادله** مساحت قاب برابر $300 \text{ cm}^2$ است. $\text{مساحت} = \text{طول قاب} \times \text{عرض قاب}$ $$(15 + 2x)(10 + 2x) = 300$$ ### **گام ۳: استانداردسازی و حل معادله** عبارت را بسط می‌دهیم: $$15(10) + 15(2x) + 2x(10) + 2x(2x) = 300$$ $$150 + 30x + 20x + 4x^2 = 300$$ $$4x^2 + 50x + 150 - 300 = 0$$ $$\mathbf{4x^2 + 50x - 150 = 0}$$ بر $2$ تقسیم می‌کنیم: $$\mathbf{2x^2 + 25x - 75 = 0}$$ **حل با فرمول کلی:** * **ضرایب:** $a = 2, b = 25, c = -75$ * **دلتا:** $\Delta = 25^2 - 4(2)(-75) = 625 + 600 = \mathbf{1225}$ * **ریشه‌ها:** $x = \frac{-25 \pm \sqrt{1225}}{2(2)}$. (توجه: $\sqrt{1225} = 35$) $$x = \frac{-25 \pm 35}{4}$$ 1. **ریشه‌ی اول:** $x_1 = \frac{-25 + 35}{4} = \frac{10}{4} = \mathbf{2.5}$ 2. **ریشه‌ی دوم:** $x_2 = \frac{-25 - 35}{4} = \frac{-60}{4} = \mathbf{-15}$ ### **گام ۴: پذیرش جواب‌ها و ابعاد قاب** فاصله‌ی $\mathbf{x}$ (عرض حاشیه) باید مثبت باشد، پس $\mathbf{x = -15}$ **قابل قبول نیست**. $$\mathbf{x = 2.5 \text{ cm}}$$ **ابعاد قاب:** * **عرض قاب:** $10 + 2x = 10 + 2(2.5) = 10 + 5 = \mathbf{15 \text{ cm}}$ * **طول قاب:** $15 + 2x = 15 + 2(2.5) = 15 + 5 = \mathbf{20 \text{ cm}}$ **پاسخ نهایی:** ابعاد قاب عکس $\mathbf{15 \text{ سانتی‌متر}}$ در $\mathbf{20 \text{ سانتی‌متر}}$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 77 ریاضی دهم - مسئله ۱۰ ### **گام ۱: مدل‌سازی الگوی تعداد بازی‌ها** اگر $n$ تیم داشته باشیم و هر تیم با هر تیم دیگری **فقط یک بار** بازی کند، این وضعیت مانند انتخاب $2$ تیم از بین $n$ تیم است. * **تیم اول:** می‌تواند با $(n - 1)$ تیم بازی کند. * **تیم دوم:** می‌تواند با $(n - 1)$ تیم بازی کند. اگر تعداد بازی‌ها را $n(n-1)$ در نظر بگیریم، هر بازی (مثلاً $A$ در مقابل $B$) دو بار شمرده شده است. بنابراین باید بر $2$ تقسیم شود. **الگوی تعداد بازی‌ها ($N$):** $$\mathbf{N = \frac{n(n - 1)}{2}}$$ ### **گام ۲: تشکیل معادله** تعداد بازی‌های انجام‌شده ($N$) برابر $45$ است. $n$ (تعداد تیم‌ها) مجهول است. $$\frac{n(n - 1)}{2} = 45$$ ### **گام ۳: استانداردسازی و حل معادله** $$n(n - 1) = 45 \times 2$$ $$n^2 - n = 90$$ $$\mathbf{n^2 - n - 90 = 0}$$ **حل با تجزیه:** دنبال دو عدد می‌گردیم که حاصل‌ضربشان $-90$ و حاصل‌جمعشان $-1$ باشد. این دو عدد $9$ و $-10$ هستند. $$(n + 9)(n - 10) = 0$$ **گام ۴: ریشه‌ها و تعداد تیم‌ها** 1. $$n + 9 = 0 \Rightarrow n = -9$$ 2. $$n - 10 = 0 \Rightarrow n = 10$$ **پذیرش جواب:** تعداد تیم‌ها نمی‌تواند منفی باشد، پس $\mathbf{n = -9}$ **قابل قبول نیست**. $$\mathbf{n = 10}$$ **پاسخ نهایی:** * **الگوی تعداد بازی‌ها:** $\mathbf{N = \frac{n(n - 1)}{2}}$ * **تعداد تیم‌های تیمگان:** $\mathbf{10 \text{ تیم}}$